Задача
NT-B2-M08-P010 Параметрический запрет
#10
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(k\ge 4\) — целое число. Докажите, что уравнение \(x^2+y^2+1=kxy\) не имеет решений в положительных целых числах.
Повторите прыжок Виета и отдельно проверьте случай \(x=1\).
Пусть \(x\le y\) и решение минимально по сумме. При \(x=1\) получаем \(y^2-ky+2=0\). Его дискриминант \(k^2-8\) не является квадратом: если \(k^2-8=t^2\), то \((k-t)(k+t)=8\), что при \(k\ge 4\) невозможно. Пусть \(x\ge 2\). Второй корень \(y'=kx-y=\frac{x^2+1}{y}\) положителен и целый. Так как \(y\ge x\), \(y'\le x+\frac{1}{x}
Сильная версия задачи 6; хороша как первый Level 5 в модуле.