Задача
NT-B2-M08-P011 Прыжок Маркова
#11
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть положительные целые \(x,y,z\) удовлетворяют \(x^2+y^2+z^2=3xyz\). Докажите, что число \(z'=3xy-z\) положительно и что \((x,y,z')\) также является решением.
Используйте формулы Виета для квадратного уравнения по \(z\).
Рассмотрим \(Z^2-3xyZ+x^2+y^2=0\). Один корень \(z\), второй \(z'=3xy-z\). Произведение корней равно \(x^2+y^2>0\), поэтому \(zz'>0\); так как \(z>0\), имеем \(z'>0\). По формуле Виета второй корень удовлетворяет тому же квадратному уравнению, значит \(x^2+y^2+(z')^2=3xyz'\).
Здесь ещё не доказывается уменьшение; это отдельный технический кирпич.