Задача
NT-B2-M08-P018 Смешанная квадратичная форма
#18
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что уравнение \(x^2+2y^2=5z^2\) не имеет ненулевых целых решений.
Рассмотрите квадраты по модулю \(5\).
Квадраты по модулю \(5\): \(0,1,4\). Тогда \(2y^2\) имеет остатки \(0,2,3\). Сумма \(x^2+2y^2\) может быть \(0\pmod 5\) только если оба слагаемых имеют остаток \(0\). Значит \(5\mid x,y\). Тогда \(25\mid x^2+2y^2=5z^2\), следовательно \(5\mid z\). Деление всех переменных на \(5\) даёт меньшее решение того же уравнения. Противоречие.
Важно, что форма сохраняется после деления на \(5\).