Задача
NT-B2-M08-P017 Четвёртые степени и модуль \(5\)
#17
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что \(x^4+y^4=5z^4\) не имеет ненулевых целых решений.
Найдите четвёртые степени по модулю \(5\).
Четвёртая степень по модулю \(5\) равна \(0\) или \(1\). Поэтому из \(x^4+y^4\equiv 0\pmod 5\) следует \(5\mid x\) и \(5\mid y\). Тогда \(5^4\mid x^4+y^4=5z^4\), значит \(5^3\mid z^4\), и потому \(5\mid z\). Делим все переменные на \(5\) и получаем меньшее ненулевое решение того же уравнения. Противоречие.
Пара к предыдущей задаче, но с другим простым и более короткой таблицей остатков.