Задача
NT-B2-M09-P012 Делители для пяти сдвигов
#12
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что существует бесконечно много \(N\), таких что \(N+1,N+2,N+3,N+4,N+5\) имеют соответственно делители \(3,5,7,11,13\).
Запишите пять сравнений для \(N\).
Нужно решить систему \(N\equiv -1\pmod 3\), \(N\equiv -2\pmod 5\), \(N\equiv -3\pmod 7\), \(N\equiv -4\pmod {11}\), \(N\equiv -5\pmod {13}\). Модули попарно взаимно просты, значит по CRT есть решение по модулю \(M=3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\). Если \(N_0\) — одно решение, то все \(N=N_0+tM\) тоже решения. Таких \(N\) бесконечно много.
Здесь не требуется находить конкретное \(N\); важна идея существования.