Задача
NT-B2-M09-P013 Составные тройки
#13
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что существует бесконечно много \(n\), для которых числа \(n\), \(n+2\), \(n+6\) одновременно составные.
Назначьте им разные простые делители и затем возьмите большие решения.
Потребуем \(n\equiv 0\pmod 5\), \(n+2\equiv 0\pmod 7\), \(n+6\equiv 0\pmod {11}\). Это система \(n\equiv 0\pmod 5\), \(n\equiv 5\pmod 7\), \(n\equiv 5\pmod {11}\). Модули взаимно просты, поэтому есть решение \(n_0\) по модулю \(385\). Все \(n=n_0+385t\) имеют те же делимости. При достаточно больших \(t\) числа \(n,n+2,n+6\) больше соответствующих делителей, значит составные. Таких \(t\) бесконечно много.
Это олимпиадный вариант конструкции, похожий на разрушение простых троек.