Задача
NT-B2-M10-P003 Мультипликативность суммы делителей
#3
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что если \(\gcd(a,b)=1\), то \(\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)\).
Каждый делитель \(ab\) единственно равен произведению делителя \(a\) и делителя \(b\).
При взаимной простоте \(a\) и \(b\) каждый делитель \(d\mid ab\) единственно представляется как \(d=d_1d_2\), где \(d_1\mid a\), \(d_2\mid b\). Поэтому \(\sigma(ab)=\sum_{d_1\mid a}\sum_{d_2\mid b}d_1d_2=\left(\sum_{d_1\mid a}d_1\right)\left(\sum_{d_2\mid b}d_2\right)=\sigma(a)\sigma(b)\).
Стандартное доказательство через биекцию делителей.