Задача
NT-B2-M10-P002 Количество делителей
#2
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все натуральные \(n\) вида \(n=2^a3^b\), у которых ровно \(18\) положительных делителей.
Нужно \((a+1)(b+1)=18\).
Так как \(\tau(n)=(a+1)(b+1)\), получаем пары \((a+1,b+1)=(1,18),(2,9),(3,6),(6,3),(9,2),(18,1)\). Так как в записи \(2^a3^b\) допускаются \(a,b\ge 0\), все пары дают решения: \(3^{17}\), \(2\cdot 3^8\), \(2^2\cdot 3^5\), \(2^5\cdot 3^2\), \(2^8\cdot 3\), \(2^{17}\).
Уточните, допускается ли показатель \(0\); здесь да.