NT-B2-M10-P009 Нечётная \(\sigma(n)\)

Посмотрите на \(\sigma(p^a)\) для нечётного \(p\) и для \(p=2\).

Пусть \(n=2^a\prod p_i^{\alpha_i}\), где \(p_i\) нечётные. Для нечётного \(p\) сумма \(1+p+\cdots+p^\alpha\) имеет \(\alpha+1\) нечётных слагаемых, значит нечётна тогда и только тогда, когда \(\alpha\) чётно. Для \(2^a\) сумма \(1+2+\cdots+2^a\) всегда нечётна. Поэтому \(\sigma(n)\) нечётна ровно тогда, когда все показатели при нечётных простых чётны. Это значит, что нечётная часть \(n\) — квадрат; показатель при \(2\) может быть любым. Если \(a\) чётен, \(n\) квадрат; если \(a\) нечётен, \(n=2\cdot\) квадрат.

Красивая задача на паритет суммы делителей.