Задача
NT-B2-M10-P008 Когда \(\varphi(n)=2n/5\)
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все положительные \(n\), для которых \(\varphi(n)=\frac{2n}{5}\).
1001 Problems in Classical Number Theory (method inspiration) · Задача 732
Эквивалентно \(\frac{n}{\varphi(n)}=\frac{5}{2}\).
Нужно \(\prod_{p\mid n}\frac{p}{p-1}=\frac52\). Множители от \(2\) и \(5\) дают \(2\cdot\frac54=\frac52\). Если добавить другой простой, произведение изменится. Без \(2\) или без \(5\) значение тоже не получится. Следовательно \(n=2^a5^b\), где \(a,b\ge 1\). Проверка: \(\varphi(2^a5^b)=2^{a-1}\cdot 4\cdot 5^{b-1}=\frac{2}{5}2^a5^b\).
Тренирует работу с рациональным отношением.