Задача
NT-B2-M10-P016 Произведение делителей
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что произведение всех положительных делителей числа \(n\) равно \(n^{\tau(n)/2}\).
Сгруппируйте делители в пары \(d\) и \(n/d\).
Каждому делителю \(d\) соответствует делитель \(\frac{n}{d}\), и произведение пары равно \(n\). Если \(n\) не квадрат, все делители разбиваются на \(\frac{\tau(n)}{2}\) пар, и произведение равно \(n^{\tau(n)/2}\). Если \(n\) квадрат, один делитель \(\sqrt{n}\) спаривается сам с собой; формула всё равно верна, потому что произведение остальных пар даёт \(n^{(\tau(n)-1)/2}\), а оставшийся множитель \(\sqrt{n}\) даёт \(n^{1/2}\). Итого \(n^{\tau(n)/2}\).
Формула часто используется в задачах на произведение делителей.