Задача
NT-B2-M10-P017 Сумма квадратов делителей
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что для каждого \(n\ge 1\) выполнено \(\sigma_2(n)\ge n\tau(n)\), где \(\sigma_2(n)=\sum_{d\mid n}d^2\).
1001 Problems in Classical Number Theory (method inspiration) · Задача 489
Сгруппируйте делители \(d\) и \(\frac{n}{d}\), затем примените \(u^2+v^2\ge 2uv\).
Для каждой пары разных делителей \(d\) и \(\frac{n}{d}\) имеем \(d^2+\left(\frac{n}{d}\right)^2\ge 2n\). Такая пара содержит два делителя, значит её вклад не меньше \(n\) на делитель. Если \(n\) квадрат, центральный делитель \(\sqrt{n}\) даёт вклад \(n\), тоже ровно \(n\) на один делитель. Складывая по всем делителям, получаем \(\sigma_2(n)\ge n\tau(n)\).
Хорошее смешение функций делителей и неравенства.