NT-B2-M10-P018 Составное число имеет большую сумму делителей

Возьмите наименьший делитель \(d>1\).

Пусть \(d\) — наименьший делитель \(n\), больший \(1\). Тогда \(d\le \sqrt{n}\), иначе у \(n\) не было бы делителя между \(1\) и \(\sqrt{n}\). Число \(\frac{n}{d}\) тоже делитель и \(\frac{n}{d}\ge \sqrt{n}\). Делители \(1,d,\frac{n}{d},n\) дают вклад не меньше \(1+d+\frac{n}{d}+n>n+\sqrt{n}\). Значит \(\sigma(n)>n+\sqrt{n}\).

Сильная оценка с коротким доказательством.