Задача
NT-B2-M11-P001 Сумма цифр в основании \(b\)
#1
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(b\ge2\), а \(N=\overline{a_ra_{r-1}\ldots a_0}_b\). Докажите, что \(N\equiv a_0+a_1+\cdots+a_r\pmod{b-1}\). Найдите все основания \(b>5\), для которых число \(\overline{312}_b\) делится на \(b-1\).
Используйте \(b\equiv1\pmod{b-1}\).
Разложим число: \(N=a_rb^r+\cdots+a_1b+a_0\). Так как \(b\equiv1\pmod{b-1}\), то каждая степень \(b^i\) сравнима с \(1\), значит \(N\equiv a_0+\cdots+a_r\pmod{b-1}\).
Для \(\overline{312}_b\) сумма цифр равна \(6\). Поэтому нужно и достаточно, чтобы \(b-1\mid6\). При \(b>5\) имеем \(b-1\ge5\), значит единственный вариант \(b-1=6\). Ответ: \(b=7\).
Хорошая стартовая задача: ученик должен увидеть, что признаки делимости одинаково работают в любом основании.