Задача
NT-B2-M11-P002 Чередующаяся сумма
Докажите признак делимости на \(11\) через чередующуюся сумму цифр. Затем найдите все четырёхзначные числа вида \(\overline{ab37}\), которые делятся на \(11\).
Используйте \(10\equiv-1\pmod{11}\), а затем решите сравнение для \(a-b+3-7\).
Если \(N=\overline{a_ra_{r-1}\ldots a_0}\), то \(10^i\equiv(-1)^i\pmod{11}\). Значит, \(N\equiv a_0-a_1+a_2-\cdots+(-1)^r a_r\pmod{11}\).
Для \(\overline{ab37}\) получаем условие \(a-b+3-7=a-b-4\equiv0\pmod{11}\). Так как \(1\le a\le9\), \(0\le b\le9\), возможны значения \(a-b-4=0\) или \(-11\). Отсюда \(a=b+4\), где \(b=0,1,2,3,4,5\), или \(a=b-7\), где \(b=8,9\). Получаем числа \(4037,5137,6237,7337,8437,9537,1837,2937\).
Следите, чтобы ученик не перепутал порядок цифр: в признаке можно начинать с любого конца, но знаковая схема должна быть согласованной.