Задача
NT-B2-M11-P014 Квадрат с теми же последними цифрами
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все двузначные окончания \(x\) по модулю \(100\), для которых \(x^2\) заканчивается теми же двумя цифрами, что и \(x\).
Решите \(x^2\equiv x\pmod{100}\) отдельно по модулям \(4\) и \(25\).
Условие равно \(x(x-1)\equiv0\pmod{100}\). Так как \(100=4\cdot25\), причём \(4\) и \(25\) взаимно просты, нужно выбрать \(x\equiv0\) или \(1\pmod4\) и \(x\equiv0\) или \(1\pmod{25}\). Получаем четыре системы:
\(x\equiv0\pmod4, x\equiv0\pmod{25}\): \(x\equiv0\).
\(x\equiv1\pmod4, x\equiv1\pmod{25}\): \(x\equiv1\).
\(x\equiv1\pmod4, x\equiv0\pmod{25}\): \(x\equiv25\).
\(x\equiv0\pmod4, x\equiv1\pmod{25}\): \(x\equiv76\).
Ответ: \(00,01,25,76\).
Задача закрепляет CRT на конкретном и запоминающемся объекте.