Задача
NT-B2-M11-P018 Сумма цифр факториала
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что для любого натурального \(A\) существует такое натуральное \(B\), что при всех \(n\ge B\) сумма десятичных цифр числа \(n!\) не меньше \(A\).
Inspired by regional olympiad method · 2022 · Класс 9 · Задача 10
Выберите \(k\), для которого \(9k\ge A\), и заставьте \(n!\) делиться на \(10^k-1\).
Выберем \(k\) так, чтобы \(9k\ge A\), и положим \(B=10^k-1\). Если \(n\ge B\), то число \(10^k-1\) входит среди множителей произведения \(1\cdot2\cdots n=n!\). Поэтому \(10^k-1\mid n!\).
По предыдущей блоковой оценке всякий положительный кратный \(10^k-1\) имеет сумму цифр не меньше \(9k\). Значит, сумма цифр \(n!\) не меньше \(9k\), а значит, не меньше \(A\).
Это задача уровня сильного регионального этапа: ключ не в вычислении факториала, а в выборе большого делителя вида \(10^k-1\).