Задача
NT-B2-M11-P019 Период ровно три
Найдите все \(n>1\), взаимно простые с \(10\), для которых десятичная дробь \(\frac1n\) имеет период ровно \(3\).
Используйте \(10^3-1=999=3^3\cdot37\) и исключите период \(1\).
Период ровно \(3\) означает, что порядок \(10\) по модулю \(n\) равен \(3\). Поэтому \(n\mid10^3-1=999\), но \(n\nmid10-1=9\). Так как \(999=3^3\cdot37\), делители \(999\), не являющиеся делителями \(9\), но дающие порядок \(3\), должны содержать множитель \(37\). Возможны \(37,3\cdot37,9\cdot37,27\cdot37\), то есть \(37,111,333,999\).
Для каждого из них \(10^3\equiv1\pmod n\), а \(10\not\equiv1\pmod n\), потому что \(37\mid n\), но \(37\nmid9\). Значит, период действительно равен \(3\). Ответ: \(37,111,333,999\).
Эта задача проверяет, умеет ли ученик работать с точным порядком, а не только с делимостью \(10^h-1\).