Задача
NT-B2-M11-P020 Простые делители репьюнита простой длины
Пусть \(q\) — нечётное простое число, \(R_q=\frac{10^q-1}{9}\). Докажите, что любой простой делитель \(p\ne3\) числа \(R_q\) удовлетворяет сравнению \(p\equiv1\pmod q\).
Рассмотрите порядок числа \(10\) по модулю \(p\). Он делит \(q\), но не равен \(1\).
Из \(p\mid R_q\) следует \(10^q\equiv1\pmod p\), поскольку \(9R_q=10^q-1\). При \(p\ne3\) деление на \(9\) не создаёт исключения; кроме того, \(p\ne2,5\). Пусть \(d\) — порядок \(10\) по модулю \(p\). Тогда \(d\mid q\). Так как \(q\) простое, \(d=1\) или \(d=q\).
Если \(d=1\), то \(10\equiv1\pmod p\), значит \(p\mid9\), откуда \(p=3\), что исключено. Следовательно, \(d=q\). По теореме о порядке элемента \(d\mid p-1\), значит \(q\mid p-1\), то есть \(p\equiv1\pmod q\).
Сильная завершающая задача: она соединяет репьюниты, порядок и простые делители.