Задача
NT-B2-M12-P001 Разность значений многочлена
#1
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(f\in\mathbb Z[x]\). Докажите, что для любых целых \(a,b\) число \(f(a)-f(b)\) делится на \(a-b\).
Сначала докажите это для \(x^k\).
Для \(k\ge1\) имеем \(a^k-b^k=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+\cdots+b^{k-1})\). Константа даёт нулевую разность. Сумма таких выражений с целыми коэффициентами тоже делится на \(a-b\). Значит, утверждение верно для любого \(f\in\mathbb Z[x]\).
Это фундаментальный инструмент модуля.