Задача
NT-B2-M12-P008 Целочисленные значения без целых коэффициентов
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что \(P(n)=\frac{n(n-1)}2\) принимает целые значения при всех целых \(n\), но \(P\notin\mathbb Z[x]\).
Произведение двух соседних чисел чётно.
Числа \(n\) и \(n-1\) имеют разную чётность, поэтому их произведение делится на \(2\). Следовательно, \(P(n)\in\mathbb Z\). Однако коэффициент при \(x^2\) равен \(\frac12\), не целый. Значит, \(P\) не является многочленом с целыми коэффициентами.
Нужна для будущего разговора о биномиальном базисе.