Задача
NT-B2-M12-P007 Два корня дают два множителя
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(f\in\mathbb Z[x]\), \(f(0)=f(1)=0\). Докажите, что \(n(n-1)\mid f(n)\) для всех целых \(n\).
Используйте теорему о корне многочлена: \(x\) и \(x-1\) делят \(f(x)\).
Так как \(f(0)=0\), многочлен \(x\) делит \(f(x)\) в \(\mathbb Z[x]\). Так как \(f(1)=0\), многочлен \(x-1\) тоже делит \(f(x)\). Они взаимно просты, значит \(x(x-1)\mid f(x)\) в \(\mathbb Z[x]\). Поэтому \(f(n)=n(n-1)g(n)\) при некотором \(g\in\mathbb Z[x]\), и делимость доказана.
Показывает связь корней многочлена и делимости значений.