Задача
NT-B2-M12-P018 Старший коэффициент целочисленного многочлена
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть многочлен \(P(x)\) степени \(d\) с рациональными коэффициентами принимает целые значения при всех целых \(x\). Докажите, что \(d!\) умножить на старший коэффициент \(P\) является целым числом.
Рассмотрите \(d\)-ю конечную разность \(\Delta^d P(0)\).
Оператор \(\Delta P(x)=P(x+1)-P(x)\) переводит целочисленные значения в целочисленные значения. Поэтому \(\Delta^dP(0)\) — целое число. Если старший коэффициент \(P\) равен \(c\), то при каждом применении \(\Delta\) степень уменьшается на \(1\), а старший коэффициент умножается на текущую степень. После \(d\) применений получаем постоянный многочлен со значением \(d!c\). Значит, \(d!c=\Delta^dP(0)\in\mathbb Z\).
Это сильный факт, но доказательство короткое и очень полезное.