Задача
NT-B2-M12-P017 Когда \(n^2\mid f(n)\)
#17
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f\in\mathbb Z[x]\). Докажите, что \(n^2\mid f(n)\) для всех положительных \(n\) тогда и только тогда, когда \(f(x)=x^2g(x)\) для некоторого \(g\in\mathbb Z[x]\).
Сначала из условия \(n\mid f(n)\) получите \(x\mid f(x)\), затем примените тот же аргумент к частному.
Если \(n^2\mid f(n)\), то тем более \(n\mid f(n)\), значит по задаче о \(n\mid f(n)\) имеем \(f(0)=0\), то есть \(f(x)=x h(x)\), где \(h\in\mathbb Z[x]\). Теперь \(n^2\mid f(n)=n h(n)\) даёт \(n\mid h(n)\) для всех \(n\). Снова применяем критерий и получаем \(h(0)=0\), то есть \(h(x)=xg(x)\). Следовательно, \(f(x)=x^2g(x)\). Обратное очевидно: \(f(n)=n^2g(n)\).
Хорошая задача на повторное применение одного и того же инструмента.