Задача
ALG-B1-M01-P005 Куб как разность квадратов
#5
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что куб любого натурального числа можно представить как разность квадратов двух целых чисел.
Нужно представить \(n^3\) как \((A-B)(A+B)\).
Если \(n\) нечётно, то \(n^3\) нечётно, и можно взять \[ n^3=\left(\frac{n^3+1}{2}\right)^2-\left(\frac{n^3-1}{2}\right)^2. \]
Если \(n\) чётно, пусть \(n=2m\). Тогда \(n^3=8m^3\). Возьмём \(A=2m^3+1\), \(B=2m^3-1\). Тогда \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)=2\cdot4m^3=8m^3=n^3\).
Идея взята как метод: раскрыть задачу через множители \(A-B\) и \(A+B\).