Задача
ALG-B1-M01-P006 Софи Жермен
#6
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Разложите \(x^4+4y^4\) и докажите, что при натуральных \(x,y\), \(x>1\), это выражение составное.
Добавьте и вычтите \(4x^2y^2\).
Преобразуем: \[ x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2. \] Поэтому \[ x^4+4y^4=(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2xy+2y^2). \]
При \(x>1\), \(y\ge1\) оба множителя больше \(1\). Значит, число составное.
Это сильнее обычной формулы сокращённого умножения: нужно самому создать разность квадратов.