Задача
ALG-B1-M01-P008 Нулевая сумма
#8
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(a+b+c=0\). Докажите, что \(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\) и \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Возведите \(a+b+c=0\) в квадрат, затем используйте кубическое тождество.
Из \((a+b+c)^2=0\) получаем \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\). Отсюда \(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\).
Далее \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\). Значит, \(a^3+b^3+c^3=3abc\).
Обе формулы часто используются вместе.