Задача
ALG-B1-M01-P011 Разность степеней
#11
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что для натурального \(n\) выражение \(a^n-b^n\) делится на \(a-b\).
Используйте разложение \(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})\).
Запишем: \[ a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}). \] Это проверяется раскрытием скобок: все промежуточные слагаемые сокращаются.
Следовательно, \(a^n-b^n\) имеет множитель \(a-b\).
Это важный мост к модулю о факторизации.