Задача
ALG-B1-M01-P013 Равенство в кубическом тождестве
#13
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что для действительных \(a,b,c\) при \(a+b+c>0\) и \(a^3+b^3+c^3=3abc\) обязательно \(a=b=c\).
Перенесите \(3abc\) влево и разложите.
По тождеству: \[ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca). \] Левая часть равна нулю, а \(a+b+c>0\), значит второй множитель равен нулю.
Но \[ 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2. \] Сумма квадратов равна нулю только при \(a=b=c\).
Здесь тождество даёт не просто факторизацию, а условие равенства.