Задача
ALG-B1-M01-P015 Четвёртые степени при нулевой сумме
#15
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a+b+c=0\). Докажите, что \(a^4+b^4+c^4=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\).
Используйте \(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\) и возведите в квадрат.
Из \(a+b+c=0\) имеем \(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\). Возведём в квадрат: \[ (a^2+b^2+c^2)^2=4(ab+bc+ca)^2. \]
Левая часть равна \(a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\). Правая равна \(4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc(a+b+c))\), а последний член равен нулю. Получаем нужное равенство.
Задача уже требует цепочку из двух тождеств.