Задача
ALG-B1-M01-P017 Сумма квадратов из симметрии
#17
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) для всех действительных \(a,b,c\).
Перенесите всё в одну сторону и умножьте на \(2\).
Достаточно доказать \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\). Умножим на \(2\): \[ 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2. \]
Правая часть неотрицательна, значит неравенство доказано.
Это не модуль неравенств, но сумма квадратов — часть языка тождеств.