Задача
ALG-B1-M01-P018 Циклическая разность
#18
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Разложите \(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\).
Выражение обращается в ноль при \(a=b\), \(b=c\), \(c=a\), значит ожидаются множители \(a-b\), \(b-c\), \(c-a\).
Обозначим выражение через \(E\). Оно имеет степень \(3\), и при \(a=b\) получаем \(E=0\), значит есть множитель \(a-b\). Аналогично есть множители \(b-c\) и \(c-a\).
Так как произведение \((a-b)(b-c)(c-a)\) тоже имеет степень \(3\), остаётся определить знак. Подставим \(a=1\), \(b=2\), \(c=3\): \(E=1( -1)+4(2)+9(-1)=-2\). А \((a-b)(b-c)(c-a)=(-1)(-1)(2)=2\). Значит, \(E=-(a-b)(b-c)(c-a)\).
Сильная задача на “угадывание” множителей через зануление.