Задача
ALG-B1-M01-P019 Симметрическая тройка
#19
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Действительные \(x,y,z\) удовлетворяют \(x+y+z=3\) и \(x^2+y^2+z^2=3\). Докажите, что \(x=y=z=1\).
Рассмотрите \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\).
Вычислим: \[ (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)+3. \] По условию это \(3-6+3=0\).
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю. Значит, \(x=y=z=1\).
Задача учит строить нужную сумму квадратов из условий.