Задача
ALG-B1-M01-P020 Целые решения через разложение
#20
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все целые \(x,y\), для которых \(x^2-y^2=15\).
Разложите левую часть и переберите пары множителей числа \(15\).
Имеем \((x-y)(x+y)=15\). Оба множителя имеют одну чётность, потому что их сумма \(2x\) чётна. Так как \(15\) нечётно, оба множителя нечётны.
Возможные пары: \((1,15)\), \((3,5)\), \((-1,-15)\), \((-3,-5)\). Решая системы \(x-y=u\), \(x+y=v\), получаем \((x,y)=(8,7),(4,1),(-8,-7),(-4,-1)\).
Связь алгебры и теории чисел, но на языке тождеств.