Задача
ALG-B1-M01-P022 Разность четвёртых степеней
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите, что \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\) для всех действительных \(a,b\).
Перенесите всё влево и попробуйте вынести \((a-b)^2\).
Рассмотрим разность: \[ a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3(a-b)-b^3(a-b)=(a-b)(a^3-b^3). \] Теперь \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\).
Значит, разность равна \((a-b)^2(a^2+ab+b^2)\). Первый множитель неотрицателен, второй равен \(\left(a+\frac b2\right)^2+\frac34b^2\ge0\). Поэтому неравенство доказано.
Это уже олимпиадная техника: доказать неравенство через точное разложение.