Задача
ALG-B1-M02-P007 Нечётная сумма степеней
#7
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что \(a+b\) делит \(a^{2n+1}+b^{2n+1}\) при любом целом \(n\ge0\).
Положите \(m=2n+1\) и используйте разложение суммы нечётных степеней.
Для нечётного \(m\) верно разложение \(a^m+b^m=(a+b)(a^{m-1}-a^{m-2}b+\cdots-ab^{m-2}+b^{m-1})\).
При \(m=2n+1\) это даёт множитель \(a+b\), значит делимость доказана.
Идея вдохновлена классическими задачами на делимость степеней, но формулировка учебная.