Задача
ALG-B1-M02-P026 Увеличение произведения после сдвига
В произведении трёх натуральных чисел каждый множитель уменьшили на \(4\). Могло ли новое произведение оказаться ровно на \(2020\) больше исходного? Если могло, приведите пример и объясните, как его найти.
Попробуйте сделать два множителя равными \(1\), чтобы после уменьшения они дали положительный коэффициент перед третьим множителем.
Обычная попытка взять все множители большими не помогает: произведение скорее уменьшается. Скрытая идея в том, что после уменьшения маленькие множители могут стать отрицательными, а произведение двух отрицательных множителей положительно.
Пусть исходные числа равны \(1,1,a\). Тогда исходное произведение равно \(a\), а новое равно \((-3)(-3)(a-4)=9a-36\).
Нужно, чтобы новое произведение было на \(2020\) больше исходного:
\[9a-36=a+2020.\]
Отсюда \(8a=2056\), значит \(a=257\). Проверка: исходное произведение \(1\cdot1\cdot257=257\), новое произведение \((-3)(-3)\cdot253=2277\), и \(2277-257=2020\). Значит, такое возможно.
Переписанная олимпиадная идея: вместо перебора нужен конструктивный выбор маленьких множителей и линейное уравнение для последнего.