Задача
ALG-B1-M03-P017 Сумма квадратов из системы
#17
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Действительные \(x,y,z\) удовлетворяют \(x+y+z=3\), \(x^2+y^2+z^2=3\). Докажите, что \(x=y=z=1\).
Рассмотрите \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\).
\((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)+3=3-6+3=0\).
Сумма квадратов равна нулю только когда все квадраты равны нулю. Значит, \(x=y=z=1\).
Алгебраическая система превращается в неотрицательность.