Задача
ALG-B1-M03-P020 Сумма, произведение и ограничение
#20
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все действительные \(x,y\), если \(x+y=2\) и \(x^4+y^4=2\).
Сначала выразите всё через \(p=xy\).
Пусть \(p=xy\). Тогда \(x^2+y^2=4-2p\).
\(x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(4-2p)^2-2p^2=16-16p+2p^2\).
По условию \(16-16p+2p^2=2\), значит \(p^2-8p+7=0\). Отсюда \(p=1\) или \(p=7\). Но для действительных \(x,y\) при \(x+y=2\) нужно \(p\le1\). Значит, \(p=1\), и \(x,y\) — корни \(t^2-2t+1=0\). Получаем \(x=y=1\).
Здесь важно отбросить невозможное значение \(p\).