Задача
ALG-B1-M03-P023 Три симметрические суммы
#23
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все действительные тройки \(x,y,z\), если \(x+y+z=3\), \(xy+yz+zx=3\), \(xyz=1\).
Рассмотрите \(x,y,z\) как корни кубического многочлена.
Числа \(x,y,z\) являются корнями многочлена \(t^3-3t^2+3t-1\).
Но \(t^3-3t^2+3t-1=(t-1)^3\). Значит, все три корня равны \(1\), то есть \(x=y=z=1\).
Это первый серьёзный шаг к симметрическим многочленам.