ALG-B1-M03-P024 Натуральные решения с произведением

Упорядочьте \(x\le y\le z\) и оцените \(x\).

Без ограничения общности пусть \(x\le y\le z\). Если \(x\ge3\), то \(xyz\ge3yz\), а правая часть \(x+y+z+2\le z+z+z+2=3z+2\) при \(x,y\le z\), что для \(y\ge3\), \(z\ge3\) невозможно грубой оценкой \(3yz>3z+2\). Значит, \(x=1\) или \(x=2\).

Если \(x=1\), то \(yz=y+z+3\), то есть \((y-1)(z-1)=4\). Получаем \((y,z)=(2,5),(3,3),(5,2)\).

Если \(x=2\), то \(2yz=y+z+4\). Тогда \(y=1\) даёт \(2z=1+z+4\), \(z=5\); \(y=2\) даёт \(4z=2+z+4\), \(z=2\); при \(y\ge3\) левая часть слишком велика: \(2yz-y-z-4\ge6z-3-z-4=5z-7>0\). С учётом перестановок получаем все решения: перестановки \((1,2,5)\), \((1,3,3)\), \((2,1,5)\), \((2,2,2)\), то есть кратко перестановки \((1,2,5)\), \((1,3,3)\) и \((2,2,2)\).

Задача повышенного уровня: факторизация сочетается с оценкой.