Задача
ALG-B1-M04-P018 Много трёхчленов с целыми корнями
Можно ли при некотором \(n>10\) расставить \(3n\) последовательных натуральных чисел как коэффициенты \(n\) квадратных трёхчленов \(ax^2+bx+c\) так, чтобы каждый трёхчлен имел два целых корня?
Докажите сначала: если \(ax^2+bx+c\) имеет целые корни, то \(a\mid b\) и \(a\mid c\).
По Виету для целых корней \(r,s\): \(-b/a=r+s\), \(c/a=rs\). Значит, \(a\mid b\) и \(a\mid c\).
Пусть использованы числа \(k+1,\ldots,k+3n\). Упорядочим старшие коэффициенты: \(a_1<\cdots Для трёхчлена со старшим коэффициентом \(a_n\) коэффициенты \(b,c\) должны быть положительными кратными \(a_n\), значит хотя бы один из них не меньше \(3a_n\). Но все коэффициенты не превосходят \(k+3n\). Поэтому \(3(k+n)\le k+3n\), откуда \(k=0\). Тогда \(a_i=i\). Если \(i\) чётно, то в соответствующей тройке все три коэффициента чётные. Если \(i\) нечётно, хотя бы один коэффициент в тройке должен быть чётным, иначе значение трёхчлена при любом целом \(x\) нечётно и корня быть не может. Значит, чётных коэффициентов не меньше \(n+2\lfloor n/2\rfloor\), что при \(n>10\) больше половины всех чисел \(1,\ldots,3n\). Но среди них чётных только \(\lfloor3n/2\rfloor\). Противоречие.
Сложная региональная идея уменьшена, но сохранены лемма о делимости и оценка чётности.