#4 Многочлены I

Так как \(P(1)=0\), \(P(x)\) делится на \(x-1\). Деление даёт \(P(x)=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)\).

\(P(-1)=-1+2-7=-6\). Остаток равен \(-6\).

\((x+4)(x-6)=x^2-2x-24\). Поэтому \(a=-2\), \(b=-24\).

Многочлен \(R=P-Q\) имеет степень не выше \(2\) и три различных корня: \(-1,0,2\). Значит, \(R\equiv0\), то есть \(P=Q\).

Для одночлена \(cx^k\) разность значений равна \(c(17^k-5^k)\), она делится на \(12\). Сумма таких разностей тоже делится на \(12\).

Значение при \(x=2\): \(8+4a-8-4a=0\). Значит, делимость выполняется при любом \(a\).

Пусть общий корень равен \(r\). Тогда \(r^2+ar+b=0\) и \(r^2+br+a=0\). Вычитая, получаем \((a-b)(r-1)=0\). Так как \(a\ne b\), имеем \(r=1\).

Дискриминант равен \((u+v)^2-4uv=u^2-2uv+v^2=(u-v)^2\).

Если бы \(P\) не был нулевым, он имел бы не более \(4\) корней. Но по условию корней не меньше \(5\). Противоречие. Значит, \(P\equiv0\).

Для многочлена с целыми коэффициентами \(P(8)-P(2)\) делится на \(6\). Но по условию \(P(8)-P(2)=-2\), что не делится на \(6\). Противоречие.

Из условия \(1000^2b+1000c+a=1000^2c+1000a+b\). После переноса и деления на \(999\) получаем \(1001b-1000c-a=0\), то есть \(a=1001b-1000c\).

Значение первого трёхчлена при \(1\) равно \(a+b+c=1002b-999c=3(334b-333c)\). Оно всегда делится на \(3\). Число \(2024\) на \(3\) не делится, значит такое невозможно.

Пусть \(r\) — общий корень. Тогда \(P(r)=0\), а потому \(P(P(P(r)))=P(P(0))\). По условию это равно \(0\), значит \(P(P(0))=0\).

Обозначим \(P(x)=x^2+ux+v\). Тогда \(P(0)=v\), и условие \(P(v)=0\) даёт \(v^2+uv+v=v(v+u+1)=0\).

Если \(v=0\), то \(P(0)=0\). Если \(v+u+1=0\), то \(P(1)=1+u+v=0\). В обоих случаях \(P(0)P(1)=0\).

Так как произведение имеет ровно три различных корня, трёхчлены имеют общий корень \(r\). При этом \(u\ne v\), иначе корней было бы только два.

Вычитаем: \(0=(r^2+ur+v)-(r^2+vr+u)=(u-v)(r-1)\). Значит, \(r=1\). Подставляя, получаем \(1+u+v=0\).

Пусть остальные корни двух трёхчленов равны \(r_1\) и \(r_2\). По Виету для первого трёхчлена \(1+r_1=-u\), для второго \(1+r_2=-v\). Поэтому сумма трёх различных корней равна \(1+r_1+r_2=1-u-v-2=-u-v-1=0\).

Пусть \(P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\), \(Q(x)=(x-b_1)(x-b_2)\). Условие означает \(Q(a_1)+Q(a_2)=P(b_1)+P(b_2)\).

Раскрывая только нужные суммы, получаем \((a_1-b_1)(a_1-b_2)+(a_2-b_1)(a_2-b_2)=(b_1-a_1)(b_1-a_2)+(b_2-a_1)(b_2-a_2)\).

После сокращения это равносильно \((a_1-a_2)^2=(b_1-b_2)^2\). Но для приведённого квадратного трёхчлена дискриминант равен квадрату разности корней. Значит, дискриминанты равны.

Если \(k<5\), то по любому подходящему многочлену \(P\) можно построить другой: \(Q(x)=P(x)+(x-n_1)\cdots(x-n_k)\). Он остаётся приведённым степени \(5\), но \(Q(n_i)=P(n_i)\). Значит, однозначности нет.

Для \(k=5\) возьмём точки \(n_i=10i\) и сообщим произведение значений \(1\). Подходит многочлен \(P(x)=\prod_{i=1}^5(x-n_i)+1\).

Если другой приведённый целочисленный многочлен \(Q\) тоже даёт произведение \(1\), то все \(Q(n_i)=\pm1\). Но \(Q(n_i)-Q(n_j)\) делится на \(n_i-n_j\), а разность \(2\) не делится на \(10\) или больше. Значит, все значения \(Q(n_i)\) одинаковы; так как их пять, произведение \(1\) даёт все \(Q(n_i)=1\). Тогда \(P-Q\) имеет пять корней и степень не выше \(4\), поэтому \(P=Q\).

Многочлен \(h(x)=g(7-x)\) тоже приведённый квадратный. Условия дают \(h(2)=g(5)=f(2)\) и \(h(5)=g(2)=f(5)\).

Разность \(h-f\) имеет степень не выше \(1\), но имеет два корня \(2\) и \(5\). Значит, \(h=f\).

Если \(r\) — корень \(f\), то \(7-r\) — корень \(g\). Корни разбиваются на две пары с суммой \(7\), поэтому сумма всех четырёх корней равна \(14\).

Дискриминанты равны \(D_1=p^2-4q\), \(D_2=p^2-4q-4\), \(D_3=p^2-4q-8\).

Так как первые два трёхчлена имеют целые корни, \(D_1=m^2\), \(D_2=n^2\) для неотрицательных целых \(m,n\). Тогда \(m^2-n^2=4\), то есть \((m-n)(m+n)=4\). Оба множителя одной чётности, значит возможно только \(m-n=m+n=2\), откуда \(n=0\).

Тогда \(D_3=D_2-4=-4<0\). Следовательно, третий трёхчлен не имеет действительных корней.

По Виету для целых корней \(r,s\): \(-b/a=r+s\), \(c/a=rs\). Значит, \(a\mid b\) и \(a\mid c\).

Пусть использованы числа \(k+1,\ldots,k+3n\). Упорядочим старшие коэффициенты: \(a_1<\cdots

Для трёхчлена со старшим коэффициентом \(a_n\) коэффициенты \(b,c\) должны быть положительными кратными \(a_n\), значит хотя бы один из них не меньше \(3a_n\). Но все коэффициенты не превосходят \(k+3n\). Поэтому \(3(k+n)\le k+3n\), откуда \(k=0\). Тогда \(a_i=i\).

Если \(i\) чётно, то в соответствующей тройке все три коэффициента чётные. Если \(i\) нечётно, хотя бы один коэффициент в тройке должен быть чётным, иначе значение трёхчлена при любом целом \(x\) нечётно и корня быть не может. Значит, чётных коэффициентов не меньше \(n+2\lfloor n/2\rfloor\), что при \(n>10\) больше половины всех чисел \(1,\ldots,3n\). Но среди них чётных только \(\lfloor3n/2\rfloor\). Противоречие.

Ось параболы проходит через середину корней, то есть \(c=\frac{a+b}{2}\), а вершина имеет координаты \((c,-1)\). Поэтому \(y=\lambda(x-c)^2-1\). Подстановка \(x=a\) даёт \(0=\lambda\left(\frac{b-a}{2}\right)^2-1\), значит \(\lambda=\frac{4}{(b-a)^2}\).

Для двух парабол получаем уравнение общих точек: \(\frac{4}{w_1^2}(x-c_1)^2=\frac{4}{w_2^2}(x-c_2)^2\). Оно равносильно двум линейным уравнениям \(\frac{x-c_1}{w_1}=\pm\frac{x-c_2}{w_2}\). Если \(w_1\ne w_2\) и \(c_1\ne c_2\), оба дают по одному разному решению. Если совпадает ширина или ось, одно решение сливается или исчезает, и остаётся ровно одна общая точка.

Пусть \(P(a)-P(b)=N^2\). Для \(P(x)=ux^2+vx+w\) имеем \(P(a)-P(b)=(a-b)(u(a+b)+v)\).

Возьмём \(c=a+k\), \(d=b-k\). Тогда \(c+d=a+b\), а \(c-d=a-b+2k\), поэтому \(P(c)-P(d)=(a-b+2k)(u(a+b)+v)\).

Если \(k=(a-b)m\), то \(P(c)-P(d)=(2m+1)N^2\). Выбираем \(m\) так, чтобы \(2m+1\) было квадратом нечётного числа: \(2m+1=(2t+1)^2\). Для \(t=1,2,\ldots,1001\) получаем больше \(1000\) разных пар.

Многочлен \((x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)-t\) имеет корни \(c_1,c_2,c_3\), значит он равен \((x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)\).

Подставим \(-x\): \((-x-a_1)(-x-a_2)(-x-a_3)-t=(-x-c_1)(-x-c_2)(-x-c_3)\).

Умножая на \(-1\), получаем \((x+a_1)(x+a_2)(x+a_3)+t=(x+c_1)(x+c_2)(x+c_3)\). Следовательно, при \(x=-a_1,-a_2,-a_3\) левая часть уравнения равна \(t\). Ответ: \(-a_1,-a_2,-a_3\).

Касательная к \(y=x^2\) в точке \(u\) имеет вид \(y=2ux-u^2\), в точке \(v\) — \(y=2vx-v^2\). Их пересечение: \(x=\frac{u+v}{2}\), \(y=uv\).

Так как графики пересекаются при \(u,v\), многочлен \((p-1)x^2+qx+r\) имеет корни \(u,v\). Поэтому \((p-1)x^2+qx+r=(p-1)(x-u)(x-v)\).

Подставим \(C\) в \(y=px^2+qx+r\). Используя \(q=-(p-1)(u+v)\), \(r=(p-1)uv\), получаем \(uv=p\left(\frac{u+v}{2}\right)^2-(p-1)(u+v)\frac{u+v}{2}+(p-1)uv\). После упрощения выходит \((p-2)(u-v)^2=0\). Так как \(u\ne v\), \(p=2\).

Пусть \(P(n)=an^2+bn+c\), \(Q(n)=un^2+vn+w\). Если \(P(k)\ne P(m)\), абсцисса пересечения \(L_k,L_m\) равна

\[x_{km}=\frac{Q(m)-Q(k)}{P(k)-P(m)}=-\frac{u(k+m)+v}{a(k+m)+b}.\]

Если три прямые \(L_k,L_m,L_s\) проходят через одну точку, то \(x_{km}=x_{ks}\). Так как \(m\ne s\), из равенства дробей следует \(ub-av=0\), и тогда выражение для \(x_{km}\) не зависит от \(k,m\). Значит, все пары прямых пересекаются при одной и той же абсциссе \(x_0\).

Подставляя \(x_0\), получаем, что значения \(P(n)x_0+Q(n)\) одинаковы для трёх разных \(n\). Это квадратный многочлен от \(n\), имеющий три равных значения после вычитания константы, значит он постоянен. Поэтому все \(L_n\) проходят через одну точку.

По Виету \(r_1+r_2=-\frac ba\). Тогда

\[f(r_1+r_2)=f\left(-\frac ba\right)=a\frac{b^2}{a^2}-\frac{b^2}{a}+c=c.\]

Значит, \(c=137\).