Задача
ALG-B1-M04-P017 Три соседних свободных члена
#17
★★★★★ Уровень 5 из 5
Известно, что оба трёхчлена \(x^2+px+q\) и \(x^2+px+q+1\) имеют целые корни. Докажите, что \(x^2+px+q+2\) не имеет действительных корней.
Inspired by regional olympiad method · 2019 · Класс 11 · Задача 2
Сравните дискриминанты трёх уравнений.
Дискриминанты равны \(D_1=p^2-4q\), \(D_2=p^2-4q-4\), \(D_3=p^2-4q-8\).
Так как первые два трёхчлена имеют целые корни, \(D_1=m^2\), \(D_2=n^2\) для неотрицательных целых \(m,n\). Тогда \(m^2-n^2=4\), то есть \((m-n)(m+n)=4\). Оба множителя одной чётности, значит возможно только \(m-n=m+n=2\), откуда \(n=0\).
Тогда \(D_3=D_2-4=-4<0\). Следовательно, третий трёхчлен не имеет действительных корней.
Ключ: целые корни превращают дискриминанты в квадраты.