Задача
ALG-B1-M04-P020 Много квадратных разностей значений
Квадратный многочлен \(P(x)\) таков, что для некоторых целых \(a\ne b\) разность \(P(a)-P(b)\) является квадратом натурального числа. Докажите, что существует больше \(1000\) пар целых \((c,d)\), для которых \(P(c)-P(d)\) тоже является квадратом натурального числа.
Пишите \(P(x)=ux^2+vx+w\) и берите \(c=a+k\), \(d=b-k\).
Пусть \(P(a)-P(b)=N^2\). Для \(P(x)=ux^2+vx+w\) имеем \(P(a)-P(b)=(a-b)(u(a+b)+v)\).
Возьмём \(c=a+k\), \(d=b-k\). Тогда \(c+d=a+b\), а \(c-d=a-b+2k\), поэтому \(P(c)-P(d)=(a-b+2k)(u(a+b)+v)\).
Если \(k=(a-b)m\), то \(P(c)-P(d)=(2m+1)N^2\). Выбираем \(m\) так, чтобы \(2m+1\) было квадратом нечётного числа: \(2m+1=(2t+1)^2\). Для \(t=1,2,\ldots,1001\) получаем больше \(1000\) разных пар.
Сохранена архитектура источника: движение точек симметрично сохраняет сумму аргументов.