Задача
ALG-B1-M04-P021 Корни зеркального кубика
#21
★★★★★ Уровень 5 из 5
Различные действительные \(a_1,a_2,a_3\) и число \(t\) таковы, что уравнение \((x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=t\) имеет три действительных корня \(c_1,c_2,c_3\). Найдите корни уравнения \((x+c_1)(x+c_2)(x+c_3)=t\).
Inspired by regional olympiad method · 2023 · Класс 11 · Задача 2
Запишите тождество двух приведённых кубических многочленов и подставьте \(-x\).
Многочлен \((x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)-t\) имеет корни \(c_1,c_2,c_3\), значит он равен \((x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)\).
Подставим \(-x\): \((-x-a_1)(-x-a_2)(-x-a_3)-t=(-x-c_1)(-x-c_2)(-x-c_3)\).
Умножая на \(-1\), получаем \((x+a_1)(x+a_2)(x+a_3)+t=(x+c_1)(x+c_2)(x+c_3)\). Следовательно, при \(x=-a_1,-a_2,-a_3\) левая часть уравнения равна \(t\). Ответ: \(-a_1,-a_2,-a_3\).
Сильная, но чистая задача на тождество приведённых кубиков.