Задача
ALG-B1-M04-P022 Касательные к базовой параболе
График \(y=px^2+qx+r\) пересекает график \(y=x^2\) в точках с абсциссами \(u\) и \(v\), \(u\ne v\). Касательные к \(y=x^2\) в этих точках пересекаются в точке \(C\). Если \(C\) лежит на графике \(y=px^2+qx+r\), найдите \(p\).
Найдите координаты точки пересечения касательных: \(\left(\frac{u+v}{2},uv\right)\).
Касательная к \(y=x^2\) в точке \(u\) имеет вид \(y=2ux-u^2\), в точке \(v\) — \(y=2vx-v^2\). Их пересечение: \(x=\frac{u+v}{2}\), \(y=uv\).
Так как графики пересекаются при \(u,v\), многочлен \((p-1)x^2+qx+r\) имеет корни \(u,v\). Поэтому \((p-1)x^2+qx+r=(p-1)(x-u)(x-v)\).
Подставим \(C\) в \(y=px^2+qx+r\). Используя \(q=-(p-1)(u+v)\), \(r=(p-1)uv\), получаем \(uv=p\left(\frac{u+v}{2}\right)^2-(p-1)(u+v)\frac{u+v}{2}+(p-1)uv\). После упрощения выходит \((p-2)(u-v)^2=0\). Так как \(u\ne v\), \(p=2\).
Графическая задача сведена к коэффициентам квадратного многочлена.