Задача
ALG-B1-M06-P006 Симметричная система
#6
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Решите систему \[x+y+xy=7,\qquad x^2+y^2=10.\]
Обозначьте \(s=x+y\), \(p=xy\).
Получаем \(s+p=7\) и \(s^2-2p=10\). Из \(p=7-s\) следует \(s^2+2s-24=0\), то есть \(s=4\) или \(s=-6\).
Если \(s=4\), то \(p=3\), и \(x,y\) корни \(t^2-4t+3=0\), значит \(\{x,y\}=\{1,3\}\). Если \(s=-6\), то \(p=13\), но дискриминант \(s^2-4p=36-52<0\), реальных \(x,y\) нет.
Ответ: \((1,3)\) и \((3,1)\).
Важно довести замену до проверки существования вещественных корней.