Задача
ALG-B1-M06-P019 Два возможных отношения
#19
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(x,y>0\) и \(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{5}{2}\). Найдите возможные значения \(\frac{x-y}{x+y}\).
Обозначьте \(s=x+y\), \(p=xy\) и выразите квадрат искомой дроби.
Так как \(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{s^2-2p}{p}=\frac{5}{2}\), имеем \(\frac{s^2}{p}=\frac{9}{2}\).
Тогда \(\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^2=\frac{s^2-4p}{s^2}=1-\frac{4p}{s^2}=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}\). Значит, возможные значения равны \(\frac{1}{3}\) и \(-\frac{1}{3}\). Оба достигаются, например, при отношениях \(x:y=2:1\) и \(1:2\).
Проверка достижимости значений обязательна.