Задача
ALG-B1-M06-P020 Ограничение произведения
Пусть \(a,b,c\) — вещественные числа, \(a+b+c=0\) и \(a^2+b^2+c^2=2\). Докажите, что \[-\frac{2}{3\sqrt{3}}\le abc\le \frac{2}{3\sqrt{3}}.\]
Рассмотрите \(a,b,c\) как корни кубического многочлена и используйте, что у него три вещественных корня.
Из условий получаем \(ab+bc+ca=-1\). Пусть \(q=abc\). Тогда \(a,b,c\) — три вещественных корня многочлена \(F(t)=t^3-t-q\).
Если кубический многочлен \(t^3-t-q\) имеет три вещественных корня, то значение \(q\) лежит между локальным максимумом и локальным минимумом функции \(t^3-t\). Эти экстремумы достигаются при \(3t^2-1=0\), то есть \(t=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Получаем \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{2}{3\sqrt{3}}\) и \(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\). Поэтому \(-\frac{2}{3\sqrt{3}}\le q\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\), что и требовалось.
Сильная задача: нужно не только составить многочлен, но и использовать форму его графика.